Angles à l'intérieur des polygones réguliers

Propriété

Soit un entier naturel \(n\) tel que \(n \geqslant 3\).
Les angles intérieurs d'un polygone régulier à \(n\) côtés sont de même mesure et chacun mesure, en degrés, \(\boxed{180°-\dfrac{360°}{n}}\).

Idée de la preuve

Montrons que cette propriété est vraie dans le cas d'un octogone.
Dans la figure suivante, on a tracé un octogone \(\text{ABCDEFGH}\), ainsi que le cercle de centre \(\text{O}\) auquel appartiennent ses sommets. On a relié chaque sommet au centre du cercle.​​​​​​

L'octogone apparaît alors divisé en huit triangles.

Considérons, par exemple, le triangle \(\text{AOB}\).
\(\text{AOB}\) est isocèle : en effet, \(\text{AO}~=~\text{BO}\) car \(\text{[AO]}\) et \(\text{[BO]}\) sont deux rayons du cercle. Par conséquent, les angles \(\widehat{\text{BAO}}\) et \(\widehat{\text{ABO}}\) sont de même mesure.

De plus, les huit triangles isocèles qui apparaissent sont égaux. En effet, leurs bases sont de même mesure, étant les côtés d'un octogone régulier, et leurs autres côtés sont des rayons du cercle. Ainsi, les angles à la base de chacun des huit triangles isocèles sont de même mesure.
Chaque angle à l'intérieur de l'octogone régulier a pour mesure le double de chaque angle à la base de l'un des triangle isocèles : par exemple, on a \(\widehat{\text{HAO}}=\widehat{\text{BAO}}\) et, par conséquent, \(\widehat{\text{BAH}}=\widehat{\text{BAO}}+\widehat{\text{HAO}}=\widehat{\text{BAO}}+\widehat{\text{BAO}}=2~\widehat{\text{BAO}}\) .

Comme tous les angles à la base de chaque triangle isocèle sont de même mesure, cela permet de conclure que tous les angles à l'intérieur de l'octogone sont de même mesure. Nous pouvons alors calculer la mesure, en degrés, de chaque angle à l'intérieur de l'octogone.
Comme les triangles isocèles sont égaux, on a \(\widehat{\text{AOB}}=\dfrac{360°}{8}=45°\).
Par conséquence,  \(\widehat{\text{BAH}}=2~\widehat{\text{BAO}}=\widehat{\text{BAO}}+\widehat{\text{ABO}}=180°-\widehat{\text{AOB}}=180°-45°=135°\).

On peut conclure que chaque angle à l'intérieur d'un octogone régulier mesure \(\text{135°}\).

Remarque

Cette preuve se généralise au cas d'un polygone à \(n\) côtés. 

Propriété

La somme des mesures des angles à l'intérieur d'un polygone régulier à \(n\) côtés est donnée, en degrés, par \(\boxed{\text{180°}\times n - 360°}\).

Preuve

Il suffit de multiplier la mesure, en degrés, de chaque angle à l'intérieur du polygone régulier à \(n\) côtés par \(n\).

Remarques

• Pour \(n=3\) et \(n=4\), on retrouve bien la somme des mesures des angles à l'intérieur d'un triangle équilatéral et d'un carré soit, respectivement, \(180°\)et \(360°\).
  
• Cette formule est valable pour tout polygone convexe à \(n\) côtés. Dans le cas général, sa démonstration est plus complexe et dépasse le cadre de ce cours.